Задача № 42. в) Доказать, что \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0), указав для всякого \(\varepsilon > 0\) число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что \(|x_n| < \varepsilon\) при \(n > N\), если
в) \(x_n = \frac{1}{n!}\).
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) |
Решение в).
Для любого натурального числа \(n > 0\) выполняется
\( 2^n \leq n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\, ... \).
Отсюда
\(|x_n| = \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^n}\)
для любого натурального числа \(n > 0\).
Таким образом, если число \(N = N(\varepsilon)\) такое, что для любого натурального \(n > N\) выполняется неравенство
\(\frac{1}{2^n} < \varepsilon\),
то для этого натурального \(n\) будет также
\((1)\quad |x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\).
Пусть натуральное число \(N\) такое, что
\(\frac{1}{2^N} \leq \varepsilon\).
Отсюда
\(\frac{1}{\varepsilon} \leq 2^N\)
\(N \geq \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\).
Следовательно, если \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\), то для любого натурального \(n > N\) будут выполняться неравенство (1).
Пусть \(\varepsilon > 0\) и \(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil\), тогда
\(|x_n| = \frac{1}{n!} < \varepsilon\),
при \(n > N\).
Это означает, что последовательность \(x_n = \frac{1}{n!}\) \((n = 1, 2, ...)\) есть бесконечно малая (т.е. имеет предел, равный 0).
1) Если \(\varepsilon = 0,1\), то
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,1}\right)\right\rceil = 4\).
Для любого \(n > 4\) будет
\(|x_n| < 0,1\).
2) Если \(\varepsilon = 0,001\), то
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,001}\right)\right\rceil = 10\).
Для любого \(n > 10\) будет
\(|x_n| < 0,001\).
3) Если \(\varepsilon = 0,0001\), то
\(N = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil = \left\lceil\log_2\left(\frac{1}{0,0001}\right)\right\rceil = 14\).
Для любого \(n > 14\) будет
\(|x_n| < 0,0001\).
Заполним таблицу
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) | 4 | 10 | 14 |
