Вопрос 11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Ответ. Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведём произвольную окружность с центром в вершине A данного угла (рис.100,а). Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведём окружность с центром в точке O – начальной точке данной полупрямой (рис.100,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим B1. Опишем окружность с центром B1 и радиусом BC. Точка C1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ABC и OB1C1 равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы A и O являются соответствующими углами этих треугольников. Что и требовалось объяснить.
Вопрос 12. Объясните, как разделить данный угол пополам.
Ответ. Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть B и C – точки её пересечения со сторонами угла. Из точек B и C тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от A. Проводим полупрямую AD.
Луч AD является биссектрисой, так как делит угол BAC пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими. Что и требовалось объяснить.
Вопрос 13. Объясните, как разделить отрезок пополам.
Ответ. Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Из точек A и B радиусом AB описываем окружности. Пусть C и C1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. Отрезок CC1 пересекает прямую AB в некоторой точке O. Эта точка есть середина отрезка AB.
Действительно, треугольники CAC1 и CBC1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны AO и BO этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, O – середина отрезка AB. Что и требовалось объяснить.
Вопрос 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Ответ. Задача 5.5. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Решение. Возможны два случая:
1) точка O лежит на прямой a;
2) точка O не лежит на прямой a.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки O проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую a в двух точках: A и B. Из точек A и B проводим окружности радиусом AB. Пусть C – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки O и C.
Перпендикулярность прямых OC и AB следует из равенства углов при вершине O треугольников ACO и BCO. Эти треугольники раны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки O проводим окружность, пересекающую прямую a. Из точек A и B тем же радиусом проводим окружности. Пусть O1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O. Искомая прямая проходит через точки O и O1. Докажем это.
Обозначим через C точку пересечения прямых AB и OO1. Треугольники AOB и AO1B равны по третьему признаку. Поэтому угол OAC равен углу O1AC. А тогда треугольники OAC и O1AC равны по первому признаку. Значит, их углы ACO и ACO1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a. Что и требовалось объяснить.
Вопрос 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек?
Ответ. Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть A и B – данные точки, a – прямая, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
2) Каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
То, что каждая точка C прямой a находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, следует из равенства треугольников AOC и BOC. У этих треугольников углы при вершине O прямые, сторона OC общая, а AO=OB, так как O – середина отрезка AB.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a. Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой a. Теорема доказана.
