Вопрос 1. Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
Ответ. Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами a, b, c, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова "вектор" над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так:

\(\overline{a}\), \(\overrightarrow{a}\) или \(\overline{AB}\), \(\overrightarrow{AB}\).

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) одинаково направлены, а векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{c}\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline{a}\) обозначается |\(\overline{a}\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline{0}\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline{CD}\) в вектор \(\overline{AB}\). Значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline{CD}\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline{AB}\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline{CD}\), а значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline{AB}\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline{AB}\), равный вектору \(\overline{CD}\).

Вопрос 8. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a₁, a₂?
Ответ. Пусть вектор \(\overline{a}\) имеет началом точку A₁ (x₁; y₁), а концом точку A₂ (x₂; y₂). Координатами вектора \(\overline{a}\) будем называть числа a₁ = x₂ - x₁, a₂ = y₂ - y₁. Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае \(\overline{a}\) (a₁; a₂) или просто \((\overline{a₁; a₂})\). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами a₁, a₂ равна \(\sqrt{a^2₁ + a^2₂}\).

Вопрос 9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Ответ. Пусть A₁ (x₁; y₁) и A₂ (x₂; y₂) – начало и конец вектора \(\overline{a}\). Так как равный ему вектор \(\overline{a'}\) получается из вектора \(\overline{a}\) параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно A'₁ (x₁ + c; y₁ + d), A'₂ (x₂ + c; y₂ + d). Отсюда видно, что оба вектора \(\overline{a}\) и \(\overline{a'}\) имеют одни и те же координаты: x₂ - x₁, y₂ - y₁.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответствующие координаты векторов \(\overline{A₁A₂}\) и \(\overline{A'₁A'₂}\) равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть x'₁ и y'₁ - координаты точки A'₁, а x'₂, y'₂ - координаты точки A'₂. По условию теоремы x₂ - x₁ = x'₂ - x'₁, y₂ - y₁ = y'₂ - y'₁. Отсюда x'₂ = x₂ + x'₁ - x₁, y'₂ = y₂ + y'₁ - y₁. Параллельный перенос, заданный формулами

x' = x + x'₁ - x₁, y' = y + y'₁ - y₁,

переводит точку A₁ в точку A'₁, а точку A₂ в точку A'₂, т.е. векторы \(\overline{A₁A₂}\) и \(\overline{A'₁A'₂}\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 10. Дайте определение суммы векторов.
Ответ. Суммой векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) с координатами a₁, a₂ и b₁, b₂ называется вектор \(\overline{c}\) с координатами a₁ + b₁, a₂ + b a₂, т.е.

\(\overline{a} (a₁; a₂) + \overline{b}(b₁; b₂) = \overline{c} (a₁ + b₁; a₂ + b₂)\).

Вопрос 11. Докажите, что для любых векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\)
\(\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}\).
Ответ. Для любых векторов \(\overline{a}(a₁; a₂)\), \(\overline{b} (b₁; b₂)\)

\(\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}\).

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.

Вопрос 12. Докажите, что для любых трёх векторов \(\overline{a}\), \(\overline{b}\), \(\overline{c}\)
\(\overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}) = (\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c}\).
Ответ. Для любых векторов \(\overline{a}(a₁; a₂)\), \(\overline{b} (b₁; b₂)\), \(\overline{c} (c₁; c₂)\)

\(\overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}) = (\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c}\).

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.

Вопрос 13. Докажите векторное равенство \(\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\).
Ответ. Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство

\(\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\).

Доказательство. Пусть A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃) – данные точки (рис. 215). Вектор \(\overline{AB}\) имеет координаты x₃ - x₂, y₃ - y₂. Следовательно, вектор \(\overline{AB} + \overline{BC}\) имеет координаты x₃ - x₁, y₃ - y₁. А это есть координаты вектора \(\overline{AC}\). Значит, векторы \(\overline{AB} + \overline{BC}\) и \(\overline{AC}\) равны. Теорема доказана.

Вопрос 14. Докажите, что для получения суммы векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) надо от конца вектора \(\overline{a}\) отложить вектор \(\overline{b'}\), равный \(\overline{b}\). Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overline{a}\), а конец – с концом вектора \(\overline{b'}\), равен \(\overline{a} + \overline{b}\).
Ответ. Для доказательства достаточно изучить теорему 10.1, которая даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\). Надо от конца вектора \(\overline{a}\) отложить вектор \(\overline{b'}\), равный вектору \(\overline{b}\). Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overline{a}\), а конец – с концом вектора \(\overline{b'}\), будет суммой векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) (рис. 216). Такой способ получения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов.

Вопрос 15. Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов.
Ответ. Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах ("правило параллелограмма", рис. 217). Действительно, \(\overline{AB} + \overline{BC} = \overline{AC}\), а \(\overline{BC} = \overline{AD}\). Значит, \(\overline{AB} + \overline{AD} = \overline{AC}\).

Вопрос 16. Дайте определение разности векторов.
Ответ. Разностью векторов \(\overline{a}\) (a₁; a₂) и \(\overline{b}\) (b₁; b₂) называется такой вектор \(\overline{c}\) (c₁; c₂), который в сумме с вектором \(\overline{b}\) даëт вектор \(\overline{a}\): \(\overline{b} + \overline{c} = \overline{a}\). Отсюда находим координаты вектора \(\overline{c} = \overline{a} – \overline{b}\):

c₁ = a₁ - b₁; c₂ = a₂ - b₂.

Вопрос 17. Дайте определение умножения вектора на число.
Ответ. Произведением вектора (a₁; a₂) на число \(\lambda\) называется вектор \(\overline{\lambda\)a₁; \(\lambda\)a₂}), т.е. \((\overline{a₁; a₂}) \lambda = (\overline{\lambda a₁; \lambda a₂})\).
По определению \((\overline{a₁; a₂}) \lambda = \lambda (a₁; a₂)\).
Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора \(\overline{a}\) и чисел \(\lambda\), \(\mu\)

\((\lambda + \mu) \overline{a} = \lambda \overline{a} + \mu \overline{a}\).

Для любых двух векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) и числа \(\lambda\)

\(\lambda (\overline{a} + \overline{b}) = \lambda \overline{a} + \lambda \overline{b}\).

Вопрос 18. Докажите, что абсолютная величина вектора \(\lambda \overline{a}\) равна |\(\lambda\)| |\(\overline{a}\)|, направление вектора \(\lambda \overline{a}\) при \(\overline{a} \neq \overline{0}\) совпадает с направлением вектора \(\overline{a}\), если \(\lambda > 0\), и противоположно направлению вектора \(\overline{a}\), если \(\lambda < 0\).
Ответ. Теорема 10.2 Абсолютная величина вектора \(\lambda \overline{a}\) равна |\(\lambda\)| |\(\overline{a}\)|, направление вектора \(\lambda \overline{a}\) при \(\overline{a} \neq \overline{0}\) совпадает с направлением вектора \(\overline{a}\), если \(\lambda > 0\), и противоположно направлению вектора \(\overline{a}\), если \(\lambda < 0\).
Доказательство. Построим векторы \(\overline{OA}\) и \(\overline{OB}\), равные \(\overline{a}\) и \(\lambda \overline{a}\) соответственно (O – начало координат). Пусть a₁ и a₂ - координаты вектора \(\overline{a}\). Тогда координатами точки A будут числа a₁ и a₂, а координатами точки B будут \(\lambda a₁\), \(\lambda a₂) (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:

\(\alpha x + \beta y = 0\).

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a₁; a₂), то ему удовлетворяют и координаты точки B (\(\lambda a₁; \lambda a₂\)). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c₁ и c₂ любой точки C, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты a₁ и a₂ точки A, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому если \(\lambda > 0\), то точка B лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы \(\overline{a}\) и \(\lambda \overline{a}\) одинаково направлены. Если \(\lambda < 0\), то точка B лежит на дополнительной полупрямой, векторы \(\overline{a}\) и \(\lambda \overline{a}\) противоположно направлены. Абсолютная величина вектора \(\lambda \overline{a}\) равна:

\(|\lambda \overline{a}| = \sqrt{(\lambda a₁)^2 + (\lambda a₂)^2} = |\lambda| \sqrt{a^2₁ + a^2₂} = |\lambda| |\overline{a}|\).

Теорема доказана.

Вопрос 19. Какие векторы называются коллинеарными?
Ответ. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 223). Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.

Вопрос 20. Докажите, что если векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор \(\overline{c}\) можно представить в виде \(\overline{c} = \lambda \overline{a} + \mu \overline{b}\).
Ответ. Пусть \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор \(\overline{c}\) можно представить в виде

\(\overline{c} = \lambda \overline{a} + \mu \overline{b}\).

Пусть A и B – начало и конец вектора \(\overline{c}\) (рис. 224). Проведём через точки A и B прямые, параллельные векторам \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\). Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем:

\(\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB}\).

Так как векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{AC}\) коллинеарны, то \(\overline{AC} = \lambda \overline{a}\). Так как векторы \(\overline{CB}\) и \(\overline{b}\) коллинеарны, то \(\overline{CB} = \mu \overline{b}\). Таким образом,

\(\overline{c} = \lambda \overline{a} + \mu \overline{b}\),

что и требовалось доказать.

Вопрос 21. Дайте определение скалярного произведения векторов.
Ответ. Скалярным произведением векторов a (a₁; a₂) и b (b₁; b₂) называется число a₁b₁ + a₂b₂.
Для скалярного произведения векторов используется такая же запись как и для произведения чисел. Скалярное произведение \(\overline{a} \cdot \overline{a}\) обозначается a₂и называется скалярным квадратом. Очевидно, \(\overline{a^2} = |\overline{a^2}|\).

Вопрос 22. Докажите, что для любых трёх векторов \(\overline{a}\), \(\overline{b}\), \(\overline{c}\)
\((\overline{a} + \overline{b}) \overline{c} = \overline{a} \overline{c} + \overline{b} \overline{c}\).
Ответ. Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов \(\overline{a}\) (a₁; a₂), \(\overline{b}\) (b₁; b₂), \(\overline{c}\) (c₁; c₂)

\((\overline{a} + \overline{b}) \overline{c} = \overline{a} \overline{c} + \overline{b} \overline{c}\).

Действительно, левая часть равенства есть (a₁ + b₁) c₁ + (a₂ + b₂) c₂, а правая a₁c₁ + a₂c₂ + b₁c₁ + b₂c₂. Очевидно, они равны.

Вопрос 23. Как определяется угол между векторами?
Ответ. Углом между ненулевыми векторами \(\overline{AB}\) и \(\overline{AC}\) называется угол BAC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) называется угол между равными им векторами с общим началом.

Вопрос 24. Чему равен угол между одинаково направленными векторами?
Ответ. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Вопрос 25. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Ответ. Теорема 10.3 Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) — данные векторы и \(\phi\) — угол между ними. Имеем:

\((\overline{a} + \overline{b})^2 = (\overline{a} + \overline{b}) (\overline{a} + \overline{b}) = (\overline{a} + \overline{b})\overline{a} + (\overline{a} + \overline{b})\overline{b} = \overline{a}\overline{a} + \overline{b}\overline{a} + \overline{a}\overline{b} + \overline{b}\overline{b} = \overline{a^2} + 2\overline{a}\overline{b} + \overline{b^2}\),

или

\(|\overline{a} + \overline{b}|^2 =|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2\overline{a}\overline{b}\).

Отсюда видно, что скалярное произведение \(\overline{a}\overline{b}\) выражается через длины векторов \(\overline{a}\), \(\overline{b}\) и \(\overline{a + b}\), а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмëм систему координат xy так, как показано на рисунке 225. При таком выборе системы координат координатами вектора \(\overline{a}\) будут \(|\overline{a}|\) и 0, а координатами вектора \(\overline{b}\) будут \(|\overline{a}|\cos\phi\) и \(|\overline{b}|\sin \phi\). Скалярное произведение

\(\overline{a}\overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}|\cos \phi + 0 |\overline{b}| \sin \phi = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \phi\).

Теорема доказана.

Вопрос 26. Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Ответ. Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.