Глава 6. Задача 8. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно 5. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Решение.

Решение а).

По условию, \(\lambda = 5\), \(t = 2\), \(k = 2\). Воспользуемся формулой Пуассона

\(P_t(k) = (\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t} / k!\).

Искомая вероятность того, что за 2 минуты поступит 2 вызова,

\(P_2(2) = (5\cdot 2)^2\cdot e^{-5\cdot 2} / 2! = 0,00227\)

Число 0,00227 получается, если воспользоваться MS Excel, например.

В книге Гмурмана предлагается считать, что \(e^{-10} = 0,000045\).

Решение б).

По условию, \(\lambda = 5\), \(t = 2\), \(k = 2\).

Событие A = {за 2 мин поступит менее двух вызовов, то есть поступит либо 0, либо 1 вызов}.

Воспользуемся формулой Пуассона

\(P_t(k) = (\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t} / k!\).

Искомая вероятность события A

\(P(A) = P_2(0) + P_2(1) = (5\cdot 2)^0\cdot e^{5\cdot 2} / 0! + (5\cdot 2)^1\cdot e^{-5\cdot 2} / 1! \approx \\ \approx 0,000045 + 0,00045 = 0,000495\).

Решение в).

По условию, \(\lambda = 5\), \(t = 2\).

Событие A = {за 2 мин поступит менее двух вызовов}.

Событие B = {за 2 мин поступит не менее двух вызовов}.

Воспользуемся формулой Пуассона

\(P_t(k) = (\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t} / k!\).

Искомая вероятность события B,

\(P(B) = 1 - P(A)  = 1 - (P_2(0) + P_2(1)) = 1 - (0,000045 + 0,00045) =  1- 0,000495 = 0,999505\).

Ответ. a) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505.