Глава 6. Задача 7. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

Решение.

По условию задачи предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона. Так как в 1000 страницах имеется 1000 опечаток, поэтому можно предположить, что 1 страница содержит 1 опечатку. 

\(\lambda = 1\).

Решение а).

Событие \(A\) = {страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку}.

Событие \(\overline A\) = {страница рукописи не содержит ни одной опечатки, то есть 0 опечаток}.

Так как число опечаток распределено по закону Пуассона, поэтому

\(P(\overline A) = P_1000(0) = \lambda^0 e^{-\lambda} / 0! = 0,3679\)

Так как события \(A\) и \(\overline A\) противоположны, то вероятность события \(A\) равна

\(P(A) = 1- P(\overline A) = 1- 0,3679 = 0,6321\).

Решение б).

По условию, \(\lambda = np = 1\), \(k = 2\).

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

\(P_{1000}(2) = 1^2 e^{-1} / 2! \approx 0,1839\)

Решение в).

Событие \(A\) = {страница рукописи содержит не менее двух опечаток}.

Событие \(\overline A\) = {страница рукописи содержит менее двух опечаток, то есть содержит либо 0 опечаток, либо 1 опечатку}.

По условию, \(\lambda = np = 1\).

Пользуясь формулой Пуассона найдем вероятность события \(\overline A\)

\(P(\overline A) = P_{1000}(0) + P_{1000}(1) \approx 0,3679 + 0,3679 \approx 0,7358\)

Так как события \(A\) и \(\overline A\) противоположны, то вероятность события \(A\) равна

\(P(A) = 1- P(\overline A) = 1- 0,7358 = 0,2642\).

Ответ. a) \(P = 1 - e^{-1} = 0,6321\); б) \(P_{1000}(2) = 0,1839\); в) \(P = 0,2642\).