Глава 6. Задача 2. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Решение.

Вероятность появления шестерки в каждом бросании игральной кости \(p = 1/6\), следовательно, вероятность непоявления шестерки \(q = 1 - 1/6 = 5/6\).

При трех бросаниях игральной кости шестерка может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы:

\(x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 1, x_4 = 0\).

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

\(P_3(3) = C_3^3 p^3 q^0 = \frac{3!}{3!0!}\left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^0 = \frac{1}{216}\),

\(P_3(2) = C_3^2 p^2 q^1 = \frac{3!}{2!1!}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{15}{216}\),

\(P_3(1) = C_3^1 p^1 q^2 = \frac{3!}{1!2!}\left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{75}{216}\),

\(P_3(0) = C_3^0 p^0 q^3 = \frac{3!}{0!3!}\left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}\)

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: \(\frac{1 + 15 + 75 + 125}{216} = 1\).

Ответ.