Глава 6. Задача 3. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.
Решение.
Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний \(p = 0,6\), следовательно, вероятность непоявления события А \(q = 1 - 0,6 = 0,4\).
В трех независимых испытаниях событие А может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы:
\(x_1 = 3,\quad x_2 = 2,\quad x_3 = 1,\quad x_4 = 0\).
Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
\(P_3(3) = C_3^3 p^3 q^0 = \frac{3!}{3!0!} (0,6)^3 (0,4)^0 = 0,216\),
\(P_3(2) = C_3^2 p^2 q^1 = \frac{3!}{2!1!} (0,6)^2 (0,4)^1 = 0,432\),
\(P_3(1) = C_3^1 p^1 q^2 = \frac{3!}{1!2!} (0,6)^1 (0,4)^2 = 0,288\),
\(P_3(0) = C_3^0 p^0 q^3 = \frac{3!}{0!3!} (0,6)^0 (0,4)^3 = 0,064\)
Напишем искомый закон распределения:
| X | 3 | 2 | 1 | 0 |
| p | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Контроль: 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1.
Ответ.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 0,064 | 0,288 | 0,432 | 0,216 |
