Глава 8. Задача 7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: \(p_1 = 0,3\); \(p_2 = 0,4\); \(p_3 = 0,5\); \(p_4 = 0,6\). Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Решение.
Событие \(X_1\) = {отказ 1-го прибора}.
Событие \(X_2\) = {отказ 2-го прибора}.
Событие \(X_3\) = {отказ 3-го прибора}.
Событие \(X_4\) = {отказ 4-го прибора}.
Закон распределения случайной величины \(X_1\):
| X | 0 | 1 |
| p | 0,7 | 0,3 |
Закон распределения случайной величины \(X_2\):
| X | 0 | 1 |
| p | 0,6 | 0,4 |
Закон распределения случайной величины \(X_3\):
| X | 0 | 1 |
| p | 0,5 | 0,5 |
Закон распределения случайной величины \(X_4\):
| X | 0 | 1 |
| p | 0,4 | 0,6 |
Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Поэтому
\(M(X_1) = 0,3;\quad M(X_2) = 0,4;\quad M(X_3) = 0,5;\quad M(X_4) = 0,6\).
\(M(X_1^2) = 0,3;\quad M(X_2^2) = 0,4;\quad M(X_3^2) = 0,5;\quad M(X_4^2) = 0,6\).
Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Поэтому искомое математическое ожидание
\(M(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) + M(X_4) = \\ 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 = 1,8\).
Далее,
\(D(X_1) = M(X_1^2) - [M(X_1)]^2 = 0,3 - (0,3)^2 = 0,21\).
\(D(X_2) = M(X_2^2) - [M(X_2)]^2 = 0,4 - (0,4)^2 = 0,24\).
\(D(X_3) = M(X_3^2) - [M(X_3)]^2 = 0,5 - (0,5)^2 = 0,25\).
\(D(X_4) = M(X_4^2) - [M(X_4)]^2 = 0,6 - (0,6)^2 = 0,24\).
Искомая дисперсия
\(D(X) = D(X_1) + D(X_2) + D(X_3) + D(X_4) = 0,94\).
Ответ. 1,8; 0,94.
