Глава 8. Задача 6. Найти дисперсию случайной величины \(X\) - числа появлений событий A в двух независимых испытаниях, если \(M(X) = 0,8\).
Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события A в двух независимых испытаниях.

Решение.

Событие A в двух независимых испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза.

Таким образом, возможные значения \(X\) таковы:

\(x_1 = 0, \quad x_2 = 1,\quad x_3 = 2.\)

Для вычисления вероятностей этих возможных значений воспользуемся формулой Бернулли:

\(P_2(0) = C_2^0 p^0 (1-p)^2 = (1-p)^2,\)

\(P_2(1) = C_2^1 p^1 (1-p)^1 = 2p(1-p),\)

\(P_2(2) = C_2^2 p^2 (1-p)^0 = p^2.\)

Закон распределения случайной величины \(X\)

Математическое ожидание

\(M(X) = 0\cdot (1-p)^2 + 1\cdot 2p(1-p) + 2\cdot p^2 = 0,8\)

Отсюда

\(2p(1-p) + 2p^2 = 0,8\)

\(2p - 2p^2 + 2p^2 = 0,8\)

\(2p = 0,8\)

\(p = 0,4;\quad q = 1 - p = 0,6\)

Закон распределения случайной величины \(X\)

Закон распределения случайной величины \(X^2\)

Искомая дисперсия

\(D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0\cdot 0,36 + 1\cdot 0,48 + 4\cdot0,16 - (0,8)^2 = 0,48\)

Ответ. 0,48.