Глава 8. Задача 5. Случайная величина \(X\) может принимать два возможных значения: \(x_1\) с вероятностью 0,3 и \(x_2\) с вероятностью 0,7, причем \(x_2 > x_1\). Найти \(x_1\) и \(x_2\), зная, что \(M(X) = 2,7\) и \(D(X) = 0,21\).

Решение.

Закон распределения \(X\):

Закон распределения \(X^2\):

По условию задачи:

\(M(X) = x_1\cdot 0,3 + x_2\cdot 0,7 = 2,7\)

\(D(X) = M(X^2) -[M(X)]^2 = x_1^2\cdot 0,3 + x_2^2\cdot 0,7 - (2,7)^2 = 0,21\)

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

$$\left\{ \begin{array}{ll} x_1\cdot 0,3 + x_2\cdot 0,7 = 2,7\\ x_1^2\cdot 0,3 + x_2^2\cdot 0,7 - (2,7)^2 = 0,21 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} x_1\cdot 3 + x_2\cdot 7 = 27\\ x_1^2\cdot 3 + x_2^2\cdot 7 = 75 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} x_1\cdot 3 = 27- x_2\cdot 7\\ x_1^2\cdot 9 + x_2^2\cdot 21 = 225 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x_1 = 27- 7x_2\\ (3x_1)^2 + 21x_2^2 = 225 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll} 3x_1 = 27- 7x_2\\ (27- 7x_2)^2 + 21x_2^2 = 225 \end{array} \right.$$

Решим квадратное уравнение

\((27- 7y)^2 + 21y^2 = 225\)

\(729 + 378y + 49y^2 + 21y^2 = 225\)

\(70y^2 - 378x + 504 = 0\)

\(35y^2 - 189x + 252 = 0\)

\(D = (-189)^2 - 4\cdot 35\cdot 252 = 441 = 21^2 > 0\)

\(y_1 = \frac{189 - 21}{2\cdot 35} = 2,4\)

\(y_2 = \frac{189 + 21}{2\cdot 35} = 3\)

Получили два предварительных варианта для \(x_2\): 2,4 и 3.

1) Если \(x_2 = 2,4\), то \(x_1 = \frac{27 - 7\cdot 2,4}{3} = 3,4\). При таком наборе не выполняется условие задачи \(x_2 > x_1\).

2) Если \(x_2 = 3\), то \(x_1 = \frac{27 - 7\cdot 3}{3} = 2\). При таком наборе условие задачи \(x_2 > x_1\) не нарушается.

Итак, контроль:

Закон распределения \(X\):

Закон распределения \(X^2\):

\(M(X) = 2\cdot 0,3 + 3\cdot 0,7 = 2,7\)

\(D(X) = M(X^2) -[M(X)]^2 = 2^2\cdot 0,3 + 3^2\cdot 0,7 - (2,7)^2 = 0,21\)

Ответ. \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).