Глава 7. Задача 2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель \(p_1 = 0,6\), \(p_2 = 0,4\), \(p_3 = 0,5\) и \(p_4 = 0,7\). Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина \(X_1\), которая может принимать только два значения:
1 (попадание) с вероятностью \(p_1 = 0,6\)
и
0 (промах) с вероятностью \(q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,6 = 0,4\).

Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события, поэтому математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е.

\(M(X_1) = 0,6\).

Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором, третьем и четвертом выстрелах:

\(M(X_2) = 0,4\), \(M(X_3)=0,5\), \(M(X_4)=0,7\).

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из четырех выстрелов:

\(X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\).

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

\(M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3 + X_4) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) + M(X_4) = \\ = 0,6 + 0,4 + 0,5 + 0,7 = 2,2\).

Искомое математическое ожидание: 2,2 попадания.

Ответ. 2,2 попадания.