Глава 7. Задача 2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель p1=0,6, p2=0,4, p3=0,5 и p4=0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.
Решение.
Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина X1, которая может принимать только два значения:
1 (попадание) с вероятностью p1=0,6
и
0 (промах) с вероятностью q1=1−p1=1−0,6=0,4.
Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события, поэтому математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е.
M(X1)=0,6.
Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором, третьем и четвертом выстрелах:
M(X2)=0,4, M(X3)=0,5, M(X4)=0,7.
Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из четырех выстрелов:
X=X1+X2+X3+X4.
Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:
M(X)=M(X1+X2+X3+X4)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+M(X4)==0,6+0,4+0,5+0,7=2,2.
Искомое математическое ожидание: 2,2 попадания.
Ответ. 2,2 попадания.