Глава 12. Задача 4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением \(\sigma = 1\) мм и математическим ожиданием \(a = 0\). Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.

Решение.

Пусть \(p\) - вероятность события \(A\) = {ошибка наблюдения не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм}.

Пусть \(q\) - вероятность события \(\overline A\) = {ошибка наблюдения превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм}.

Для вычисления \(p\) воспользуемся формулой

\(P(|X-a| < \delta) = 2\Phi(\delta/\sigma).\)

По условию, \(\delta = 1,28\), \(a = 0\), \(\sigma = 1\). Следовательно,

\(p = P(|X-0| < 1,28) = 2\Phi(1,28) \approx 2\cdot 0,4 = 0,8\).

Так как события \(A\) и \(\overline A\) противоположны, поэтому вероятность \(q\) события \(\overline A\) равна

\(q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2\)

Искомая вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм, равна

\(P = 1 - q^2 = 1 - 0,2^2 = 1 - 0,04 = 0,96\).

Ответ. 0,96.