Глава 1. Задача 9. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение.

Испытание: восемь различных книг расставлены на полке.

Обозначим через A событие {Две определенные книги оказались поставленными рядом}.

Общее число возможных элементарных исходов \(n\) равно числу всех возможных перестановок восьми различных книг:

\(n = P_8 = 8!\).

Не теряя общности, можно предположить, что на полке имеется 8 пронумерованных мест, которые будут заняты данными книгами.

Событие A произойдет, если книги заняли места 1 и 2, или места 2 и 3, ..., или места 7 и 8. На это 7 возможностей.

Оказавшись рядом, 1-я книга может быть справа от 2-й или 1-я книга может быть слева от 2-й, то есть две возможности. По правилу произведения получаем \(7 \cdot 2 = 14\) возможностей расположения двух книг рядом.

Остальные 6 мест могут быть заполнены различными перестановками оставшихся шести книг. Количество этих перестановок равно 6!.

Таким образом, еще раз применяя правило произведения получаем, что общее число возможных расстановок восьми различных книг, при которых две определенные книги окажутся поставленными рядом, равно

\(m = 7\cdot 2! \cdot 6!\).

То есть, число благоприятствующих исходов \(m = 7\cdot 2! \cdot 6!\).

Искомая вероятность равна

\(P(A) = \frac{m}{n} = \frac{7\cdot 2! \cdot 6!}{8!} = \frac{7\cdot 2\cdot 1\cdot 6!}{8\cdot 7\cdot 6!} = \frac{1}{4}\).

Ответ. 1/4.