Глава 11. Задача 3. Случайная величина \(X\) задана функцией распределения

\(F(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0\qquad при \quad x\leq 0,\\ x \qquad при \quad 0 < x \leq 1,\\ 1\qquad при \quad x > 1. \end{array} \right.\)

Найти плотность распределения.

Решение.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины \(X\) называют функцию \(f(x)\) - первую производную от функции распределения \(F(x)\):
\(f(x) = F'(x)\).

Если \(x\leq 0\), то \(F(x) = 0\), следовательно,

\(f(x) = F'(x) = (0)' = 0\).

Если \(0 < x\leq 1\), то \(F(x) = x\), следовательно,

\(f(x) = F'(x) = (x)' = 0\).

Если \(x > 1\), то \(F(x) = 1\), следовательно,

\(f(x) = F'(x) = (1)' = 0\).

Ответ. \(f(x) = 1\) в интервале \((0, 1)\); вне этого интервала \(f(x) = 0\).