Глава 11. Задача 2. Случайная величина задана плотностью распределения

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0\qquad при \quad x\leq 0,\\ (\sin x)/2 \qquad при \quad 0 < x \leq \pi,\\ 0\qquad при \quad x > \pi. \end{array} \right.\)

Найти а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале \((0, \pi/4)\).

Решение.

Решение а).

Воспользуемся формулой

$$F(x) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx.$$

Если \(x \leq 0\), то \(f(x) = 0\), следовательно, \(F(x) = 0\).

Если \(0< x \leq \pi \), то \(f(x) =  (\sin x)/2\), следовательно,

$$F(x) = \int \limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx = \int \limits_{-\infty}^{0}0\,dx + \int \limits_{0}^{x}(\sin x)/2\,dx = \\ = 0 + {\Bigl .}{(-\cos x)/2}{\Bigr |}_{0}^{x} = (1 - \cos x)/2.$$

Если \(x > \pi \), то

$$F(x) = \int \limits_{-\infty}^{x}f(x)\,dx = \int \limits_{-\infty}^{0}0\,dx + \int \limits_{0}^{\pi}(\sin x)/2\,dx + \int \limits_{\pi}^{x}0\,dx= \\ = (1 - \cos\pi)/2 = (1 - (-1))/2 = 1.$$

Искомая функция распределения

\(F(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0\qquad при \quad x\leq 0,\\ (1 - \cos x)/2 \qquad при \quad 0 < x \leq \pi,\\ 1\qquad при \quad x > \pi. \end{array} \right.\)

Решение б).

Искомая вероятность

\(P(0 < x \leq \pi/4) = F(\pi/4) - F(0) = \\ = (1 - \cos(\pi/4))/2 - 0 = (1 - \sqrt{2}/2)/2 = (2 - \sqrt{2})/4 \approx 0,1464\).

Ответ.

а) \(F(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0\qquad при \quad x\leq 0,\\ (1 - \cos x)/2 \qquad при \quad 0 < x \leq \pi,\\ 1\qquad при \quad x > \pi. \end{array} \right.\)

б) \(P(0 < x \leq \pi/4) = (2 - \sqrt{2})/4 \approx 0,1464\).