Глава 11. Задача 1. Случайная величина задана плотностью распределения

$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0\qquad при \quad x\leq -\pi / 2,\\ a\cos x\qquad при \quad -\pi / 2 < x \leq \pi / 2,\\ 0\qquad при \quad x > \pi / 2. \end{array} \right.$

Найти коэффициент $a$.

Решение.

Плотность распределения должна удовлетворять условию

$$\int \limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 1.$$

По условию задачи

$$\int \limits_{-\infty}^{-\pi / 2}f(x)\,dx = \int \limits_{-\infty}^{-\pi / 2}0\,dx = 0$$

и

$$\int \limits_{\pi / 2}^{+\infty}f(x)\,dx = \int \limits_{\pi / 2}^{+\infty}0\,dx = 0$$ .

Поэтому необходимо, чтобы выполнялось равенство

$$\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2}f(x)\,dx = 1$$ .

Отсюда

$$\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2}a\cos x\,dx = 1$$ .

$$a\int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\cos x\,dx = 1$$ .

$$a = 1 / \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\cos x\,dx = 1 / \left({\Bigl .}{\sin x}{\Bigr |}_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\right) = \\ = 1 / (1 + 1) = 1 / 2$$ .

Таким образом, искомый коэффициент $a = 1/2$.

Ответ. $a = 1/2$.