Глава 1. Задача 8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
Решение.
Решение а).
По условию, \(р = 0,75\); \(q = 0,25\); \(n = 100\); \(k_1 = 70\); \(k_2 = 80\).
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
\(P_{100}(70, 80) \approx \Phi(x'') - \Phi(x')\).
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
\(x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{70 - 100\cdot 0.75}{\sqrt{100\cdot 0,75\cdot 0,25}} \approx -1,15\)
\(x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{80 - 100\cdot 0.75}{\sqrt{100\cdot 0,75\cdot 0,25}} \approx 1,15\)
Таким образом, имеем
\(P_{400}(70,80) = \Phi(1,15) - \Phi(-1,15) = 2\Phi(1,15)\).
По таблице приложения 2 находим:
\(\Phi(1,15) \approx 0,3749\).
Искомая вероятность
\(P_{400}(70,80) \approx 0,7498\).
Решение б).
По условию, \(р = 0,75\); \(q = 0,25\); \(n = 100\); \(k_1 = 0\); \(k_2 = 70\).
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
\(P_{100}(70, 80) \approx \Phi(x'') - \Phi(x')\).
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
\(x' = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{0 - 100\cdot 0.75}{\sqrt{100\cdot 0,75\cdot 0,25}} \approx -17,32\)
\(x'' = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}} = \frac{70 - 100\cdot 0.75}{\sqrt{100\cdot 0,75\cdot 0,25}} \approx -1,15\)
Таким образом, имеем
\(P_{100}(0,70) = -\Phi(1,15) - \Phi(-17,32) \approx -0,3749 - (-0,5) = 0,1251\).
Искомая вероятность
\(P_{100}(0,70) \approx 0,1251\).
Ответ. а) \(Р_{100}(70,80) = 2\Phi(1,15) = 0,7498\);
б) \(P_{100}(0,70) = -\Phi(1,15) + 0,5 = 0,1251\).
