Глава 1. Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9. Вероятность поражения цели при \(k\) попаданиях (\(k\geq 1\)) равна \(1—q^k\). Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.
Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.

Решение.

События \(A\) = {попасть в цель при одном выстреле} и \(\overline A\) = {не попасть в цель при одном выстреле} противоположны (при данном выстреле). Следовательно, вероятность события \(\overline A\) равна

\(q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1\).

Вероятность попадания в цель ровно 1 раз (событие \(B_1\)) при двух выстрелах равна (по формуле Бернулли)

\(P(B_1) = P_2 (1) = C_2^1 p^1 q^1 = 2\cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,18\).

Вероятность попадания в цель ровно 2 раза (событие \(B_2\)) при двух выстрелах равна (по формуле Бернулли)

\(P(B_2) = P_2 (2) = C_2^2 p^2 q^0 = 1\cdot 0,9^2 \cdot 0,1^0 = 0,81\).

Условная вероятность того, что цель будет поражена, при условии, что в цель попали ровно 1 раз при двух выстрелах равна

\(P_{B_1}(A) = 1 - q^1 = 1 - 0,1 = 0,9\)

 Условная вероятность того, что цель будет поражена, при условии, что в цель попали ровно 2 раза при двух выстрелах равна

\(P_{B_2}(A) = 1 - q^2 = 1 - 0,1^2 = 0,99\)

Искомая вероятность по формуле полной вероятности равна

\(P(A) = P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) = \\  = 0,18\cdot 0,9 + 0,81\cdot 0,99 = 0,9639\).

Ответ. 0,9639.