Глава 1. Задача 5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Решение.

Сложное событие \(B\) = {герб выпадет в 6 бросаниях не менее двух раз}.

Сложное событие \(C\) = {герб выпадет в 6 бросаниях менее двух раз}.

Событие \(C\) состоит из двух несовместных событий:

Событие \(C_0\) = {герб выпадет в 6 бросаниях ровно 0 раз, то есть не появится ни разу}.

Событие \(C_1\) = {герб выпадет в 6 бросаниях ровно 1 раз}.

В каждом из 6 бросаний вероятность того, что выпадет герб, равна \(p = \frac{1}{2}\).

Следовательно, также в каждом из 6 бросаний вероятность того, что не выпадет герб, равна

\(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

Вероятность события \(C_0\) по формуле Бернулли равна

\(P(C_0) = P_6(0) = C_6^0 p^0 q^6 = \frac{6!}{0!6!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}\).

Вероятность события \(C_1\) по формуле Бернулли равна

\(P(C_1) = P_6(1) = C_6^1 p^5 q^1 = \frac{6!}{1!5!}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{6}{64}\).

Решение а).

\(P(C) = P(C_0) + P(C_1) = \frac{1}{64} + \frac{6}{64} = \frac{7}{64}\).

Решение б).

События \(B\) и \(C\) противоположны. Следовательно, искомая вероятность равна

\(P(B) = 1 - P(C) = 1 - [P(C_0) + P(C_1)] = \\ = 1 - \frac{7}{64} = \frac{64 - 7}{64} = \frac{57}{64}\).

Ответ. а) \(P = P_6(0) + P_6(1) = 7/64\);
б) \(P = 1 — [P_6(0) + P_6(1)] = 57/64\).