Глава 1. Задача 2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Решение.

Сложное событие $B$ = {событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз}.

Сложное событие $C$ = {событие А появится в пяти независимых испытаниях менее двух раз}.

Событие $C$ состоит из двух несовместных событий:

Событие $C_0$ = {событие А появится в пяти независимых испытаниях ровно 0 раз, то есть не появится ни разу}.

Событие $C_1$ = {событие А появится в пяти независимых испытаниях ровно 1 раз}.

В каждом из 5 испытаний вероятность того, что он появится событие A , равна $p = 0,3$.

Следовательно, также в каждом из 5 испытаний вероятность того, что событие A не появится, равна

$q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7$.

Вероятность события $C_0$ по формуле Бернулли равна

$P(C_0) = P_5(0) = C_5^0 p^0 q^5 = \frac{5!}{0!5!}\cdot (0,3)^0\cdot (0,7)^5 = 0,16807$.

Вероятность события $C_1$ по формуле Бернулли равна

$P(C_1) = P_5(1) = C_5^1 p^4 q^1 = \frac{5!}{1!4!}\cdot (0,3)^1\cdot (0,7)^4 = 0,36015$.

События $B$ и $C$ противоположны. Следовательно, искомая вероятность равна

$P(B) = 1 - P(C) = 1 - [P(C_0) + P(C_1)] = 1 - 0,16807 - 0,36015 = 0,47178$.

 Ответ. $P = 1 — [P_5(0) + P_5(1)] \approx 0,472$.