Глава 4. Задача 7. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй.
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Решение.

Событие A = {Из второго ящика извлечена нестандартная лампа}.

Из 1-го ящика могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие $B_1$), либо нестандартная лампа (событие $B_2$).

Вероятность того, что из 1-го ящика извлечена стандартная лампа

$P(B_1) =\frac{11}{12}$.

Вероятность того, что из 1-го ящика извлечена нестандартная лампа

$P(B_2) =\frac{1}{12}$.

Условная вероятность того, что взятая из второго ящика лампа будет нестандартной, при условии, что из 1-го ящика во 2-й переложена стандартная лампа, равна

$P_{B_1}(A) = \frac{1}{11}$.

Условная вероятность того, что взятая из второго ящика лампа будет нестандартной, при условии, что из 1-го ящика во 2-й переложена нестандартная лампа, равна

$P_{B_2}(A) = \frac{2}{11}$.

Искомая вероятность того, что извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной, по формуле полной вероятности равна

$P(A) = P(B_1)P_{B_1}(A) + P(B_2)P_{B_2}(A) = \\ = \frac{11}{12}\cdot \frac{1}{11} + \frac{1}{12}\cdot \frac{2}{11} = \frac{13}{132}$.

Ответ. 13/132.