Глава 2. Задача 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение.

Пусть событие A = {Среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная}. Тогда противоположным ему является событие \(\overline A\) = {Среди наудачу извлеченных 2 деталей нет ни одной стандартной}.

Из условия задачи следует, что в партии есть 10 - 8 = 2 не стандартные детали.

Общее число возможных элементарных исходов \(n\) равно числу сочетаний из 10 различных элементов по два элемента:

\(n = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!8!} = 45\).

Событие \(\overline A\) произойдет, если обе извлеченные детали окажутся не стандартными.

То есть, число благоприятствующих исходов для события \(\overline A\) равно

\(m = C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1\).

Вероятность события \(\overline A\) равна

\(P(\overline A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{45}\).

Применяя теорему о сумме вероятностей противоположных событий, находим искомую вероятность

\(P(A) = 1 - P(\overline A) = 1 - \frac{1}{45} = \frac{45 - 1}{45} = \frac{44}{45}\).

Ответ. p = 44/45.