Задача № 163. Определить область существования (область определения) следующей функции:

\[y = \text{ctg}\,\pi x + \arccos(2^x).\]

Решение.

\(1^\circ\). Понятие функции. Переменная \(y\) называется однозначной функцией \(f\) от \(x\) в данной области изменения \(X=\{x\}\), если каждому значению \(x\in X\) ставится в соответствие одно определенное действительное значение \(y = f(x)\), принадлежащее некоторому множеству \(Y=\{y\}\).

Множество \(X\) носит название области определения или области существования функции \(f(x)\); \(Y\) называется множеством значений этой функции.

Учитывая, что

1) \(y = \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}; \quad x \ne n \pi;\; n - \text{целое},\)

2) Область определения функции \(y = \arccos x\) есть отрезок \([-1, 1]\),

получаем, что:

\[0\leq 2^x \leq 1 \implies x\leq 0\]

и

\[x \neq -n, \; n\in \Bbb N.\]

Следовательно, область определения заданной функции состоит из действительных чисел \(x\) таких, что:

\[x < 0\; \text{и} \; x \neq -n, \; n\in \Bbb N.\]

Ответ. \(x < 0\; \text{и} \; x \neq -n, \; n\in \Bbb N\).