Глава 7. Задача 3. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:
| X | 1 | 2 |
| p | 0,2 | 0,8 |
и
| Y | 0,5 | 1 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами:
а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3.
Решение.
Решение а).
Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y:
\(x_1y_1 = 1\cdot 0,5 = 0,5\).
\(x_1y_2 = 1\cdot 1 = 1\).
\(x_2y_1 = 2\cdot 0,5 = 1\).
\(x_2y_2 = 2\cdot 1 = 2\).
Вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей:
\(p_1g_1 = 0,2\cdot 0,3 = 0,06\).
\(p_1g_2 = 0,2\cdot 0,7 = 0,14\).
\(p_2g_1 = 0,8\cdot 0,3 = 0,24\).
\(p_2g_2 = 0,8\cdot 0,7 = 0,56\).
Произведения \(x_1y_2\) и \(x_2y_1\) равны между собой, поэтому вероятность возможного значения произведения будет равна сумме соответствующих вероятностей (\(p_1g_2 + p_2g_1\)).
Закон распределения XY:
| XY | 0,5 | 1 | 2 |
| p | 0,06 | 0,38 | 0,56 |
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
\(M(XY) = 0,5\cdot 0,06 +1\cdot 0,38 +2\cdot 0,56 = 1,53\).
Решение б).
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
\(M(X) = 1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,8 = 1,8\).
\(M(Y) = 0,5\cdot 0,3 +1\cdot 0,7 = 0,85\).
Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание
\(M(XY) = M(X)\cdot M(Y) = 1,8\cdot 0,85 = 1,53\).
Ответ. 1,53.
