Вопрос 1. Что такое ломаная, длина ломаной?

Ответ. Ломаной \(A_1A_2A_3\,...\,A_n\) называется фигура, которая состоит из точек \(A_1, A_2, A_3, ..., A_n\) и соединяющих их отрезков \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), ..., \(A_{n-1}A_n\). Точки \(A_1, A_2, A_3, ..., A_n\) называются вершинами ломаной, а отрезки \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), ..., \(A_{n-1}A_n\) - звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б - ломаная с самопересечением (в точке \(B\)). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Вопрос 2. Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Ответ. Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Доказательство. Пусть \(A_1A_2A_3\,...\,A_n\) - данная ломаная (рис. 274).

Заменим звенья \(A_1A_2\) и \(A_2A_3\) одним звеном \(A_1A_3\). Получим ломаную \(A_1A_3A_4\,...\,A_n\). Так как по неравенству треугольника

\(A_1A_3 < A_1A_2 + A_2A_3\),

то ломаная \(A_1A_3A_4\,...\,A_n\) имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.

Заменяя таким же образом звенья \(A_1A_3\) и \(A_3A_4\) звеном \(A_1A_4\), переходим к ломаной \(A_1A_4A_5\,...\,A_n\), которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т.д. В итоге мы придем к отрезку \(A_1A_n\), соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка \(A_1A_n\). Теорема доказана.

Вопрос 3. Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?

Ответ. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с \(n\) вершинами, а значит, и с \(n\) сторонами называется \(n\)-угольником.

Вопрос 4. Что такое плоский многоугольник?

Ответ. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).

Вопрос 5. Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?

Ответ. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежашей полуплоскости. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б - невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Вопрос 6. Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника.

Ответ. Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \(180^\circ\cdot(n-2)\).

Доказательство. В случае \(n=3\) теорема справедлива. Пусть \(A_1A_2\, ...\, A_n\) - данный выпуклый сногоугольник и \(n>3\) (рис. 279). Проведем \(n-3\) диагонали: \(A_1A_3\), \(A_1A_4\), ..., \(A_1A_{n-1}\). Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на \(n-2\) треугольника: \(\triangle A_1A_2A_3\), \(\triangle A_1A_3A_4\), ..., \(\triangle A_1A_{n-1}A_n\). Сумма углов многоугольника \(A_1A_2...A_n\) совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна \(180^\circ\), а число этих треугольников есть \(n-2\). Поэтому сумма углов выпуклого \(n\)-угольника \(A_1A_2...A_n\) равна \(180^\circ\cdot(n-2)\).

Теорема доказана.

Вопрос 7. Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

Ответ. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Вопрос 8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Ответ. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Доказательство. Пусть \(A\) и \(B\) - две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин \(A\) и \(B\). Пусть \(O\) - точка их пересечения. Треугольник \(AOB\) равнобедренный с основанием \(AB\) и углами при основами, равными \(\frac{\alpha}{2}\), где \(\alpha\) - угол многоугольника.

Соединим точку \(O\) с вершиной \(C\), соседней с \(B\). Треугольники \(ABO\) и \(CBO\) равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона \(OB\) общая, стороны \(AB\) и \(BC\) равны как стороны многоугольника, а углы при вершине \(B\) равны \(\frac{\alpha}{2}\). Из равенства треугольников следует, что треугольник \(OBC\) равнобедренный с углом при вершине \(C\), равным \(\frac{\alpha}{2}\), т.е. \(CO\) есть биссектриса угла \(C\).

Теперь соединяем точку \(O\) с вершиной \(D\), соседней с \(C\), и доказываем, что треугольник \(COD\) равнобедренный и \(DO\) - биссектриса угла \(D\) многоугольника. И т.д.

В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина - точка \(O\), является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром \(O\) и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром \(O\) и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины \(O\).

Теорема доказана.

Вопрос 9. Что называется центром многоугольника? центральным углом многоугольника?

Ответ. Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

Вопрос 10. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника.

Ответ. Найдем радиус \(R\) описанной окружности и радиус \(r\) вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной \(a\) и числом сторон \(n\) (рис. 281).

Имеем:

\[\beta = \frac{180^\circ}{n},\]

\[R = OB = \frac{CB}{\sin\beta} = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},\]

\[r = OC = \frac{CB}{\text{tg}\,\beta} = \frac{a}{2\,\text{tg}\,\frac{180^\circ}{n}}.\]