Вопрос 1. Что такое ломаная, длина ломаной?

Ответ. Ломаной \(A_1A_2A_3\,...\,A_n\) называется фигура, которая состоит из точек \(A_1, A_2, A_3, ..., A_n\) и соединяющих их отрезков \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), ..., \(A_{n-1}A_n\). Точки \(A_1, A_2, A_3, ..., A_n\) называются вершинами ломаной, а отрезки \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), ..., \(A_{n-1}A_n\) - звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б - ломаная с самопересечением (в точке \(B\)). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Вопрос 2. Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Ответ. Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Доказательство. Пусть \(A_1A_2A_3\,...\,A_n\) - данная ломаная (рис. 274).

Заменим звенья \(A_1A_2\) и \(A_2A_3\) одним звеном \(A_1A_3\). Получим ломаную \(A_1A_3A_4\,...\,A_n\). Так как по неравенству треугольника

\(A_1A_3 < A_1A_2 + A_2A_3\),

то ломаная \(A_1A_3A_4\,...\,A_n\) имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.

Заменяя таким же образом звенья \(A_1A_3\) и \(A_3A_4\) звеном \(A_1A_4\), переходим к ломаной \(A_1A_4A_5\,...\,A_n\), которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т.д. В итоге мы придем к отрезку \(A_1A_n\), соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка \(A_1A_n\). Теорема доказана.

Вопрос 3. Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?

Ответ. Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с \(n\) вершинами, а значит, и с \(n\) сторонами называется \(n\)-угольником.

Вопрос 4. Что такое плоский многоугольник?

Ответ. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).

Вопрос 5. Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?

Ответ. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежашей полуплоскости. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б - невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Вопрос 6. Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника.

Ответ. Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \(180^\circ\cdot(n-2)\).

Доказательство. В случае \(n=3\) теорема справедлива. Пусть \(A_1A_2\, ...\, A_n\) - данный выпуклый сногоугольник и \(n>3\) (рис. 279). Проведем \(n-3\) диагонали: \(A_1A_3\), \(A_1A_4\), ..., \(A_1A_{n-1}\). Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на \(n-2\) треугольника: \(\triangle A_1A_2A_3\), \(\triangle A_1A_3A_4\), ..., \(\triangle A_1A_{n-1}A_n\). Сумма углов многоугольника \(A_1A_2...A_n\) совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна \(180^\circ\), а число этих треугольников есть \(n-2\). Поэтому сумма углов выпуклого \(n\)-угольника \(A_1A_2...A_n\) равна \(180^\circ\cdot(n-2)\).

Теорема доказана.

Вопрос 7. Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

Ответ. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Вопрос 8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Ответ. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Доказательство. Пусть \(A\) и \(B\) - две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин \(A\) и \(B\). Пусть \(O\) - точка их пересечения. Треугольник \(AOB\) равнобедренный с основанием \(AB\) и углами при основами, равными \(\frac{\alpha}{2}\), где \(\alpha\) - угол многоугольника.

Соединим точку \(O\) с вершиной \(C\), соседней с \(B\). Треугольники \(ABO\) и \(CBO\) равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона \(OB\) общая, стороны \(AB\) и \(BC\) равны как стороны многоугольника, а углы при вершине \(B\) равны \(\frac{\alpha}{2}\). Из равенства треугольников следует, что треугольник \(OBC\) равнобедренный с углом при вершине \(C\), равным \(\frac{\alpha}{2}\), т.е. \(CO\) есть биссектриса угла \(C\).

Теперь соединяем точку \(O\) с вершиной \(D\), соседней с \(C\), и доказываем, что треугольник \(COD\) равнобедренный и \(DO\) - биссектриса угла \(D\) многоугольника. И т.д.

В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина - точка \(O\), является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром \(O\) и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром \(O\) и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины \(O\).

Теорема доказана.

Вопрос 9. Что называется центром многоугольника? центральным углом многоугольника?

Ответ. Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.

Вопрос 10. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника.

Ответ. Найдем радиус \(R\) описанной окружности и радиус \(r\) вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной \(a\) и числом сторон \(n\) (рис. 281).

Имеем:

\[\beta = \frac{180^\circ}{n},\]

\[R = OB = \frac{CB}{\sin\beta} = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},\]

\[r = OC = \frac{CB}{\text{tg}\,\beta} = \frac{a}{2\,\text{tg}\,\frac{180^\circ}{n}}.\]

Вопрос 11. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.

Ответ. Для правильного (равностороннего) треугольника \(n = 3\), \(\beta = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sqrt{3}},\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,60^\circ} = \frac{a}{2\sqrt{3}}.\]

Для правильного четырехугольника (квадрата) \(n = 4\), \(\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 45^\circ} = \frac{a}{\sqrt{2}},\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,45^\circ} = \frac{a}{2}.\]

Для правильного шестиугольника \(n = 6\), \(\beta = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 30^\circ} = a,\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,30^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Вопрос 12. Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?

Ответ. Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол. У правильного шестиугольника такой угол равен \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину (\(A_1\)) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем заческу и получаем вершину \(A_2\) (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\), \(A_6\) и соединяем их отрезками.

Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 283).

Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284).

Для построения правильного описанного многоугольника достаточно провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника. Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника (рис. 285).

Если в окружность вписан правильный \(n\)-угольник, то легко построить правильный вписанный \(2n\)-угольник. На рисунке 286 показано построение правильного восьмиугольника.

Вопрос 13. Докажите, что правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Ответ. Теорема 13.4. Правильные выпуклые \(n\)-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть \(P_1\): \(A_1A_2...A_n\), \(P_2\): \(B_1B_2...B_n\) - правильные выпуклые \(n\)-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т.е. совмещаются движением.

Треугольники \(A_1A_2A_3\) и \(B_1B_2B_3\) равны по первому признаку. У них \(A_1A_2 = B_1B_2\), \(A_2A_3 = B_2B_3\) и \(\angle A_1A_2A_3 = \angle B_1B_2B_3\).

Подвергнем многоугольник \(P_1\) движению, при котором его вершины \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) переходят в вершины \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина \(A_4\) перейдет в некоторую точку \(C\). Точки \(B_4\) и \(C\) лежат по одну сторону с точкой \(B_1\) относительно прямой \(B_2B_3\). Так как движение сохраняет углы и расстояния, то \(\angle B_2B_3C = \angle B_2B_3B_4\) и \(B_3C = B_3B_4\). А значит, точка \(C\) совпадает с точкой \(B_4\). Итак, при нашем движении вершина \(A_4\) переходит в вершину \(B_4\). Далее таким же способом заключаем, что вершина \(A_5\) переходит в вершину \(B_5\) и т.д. То есть многоугольник \(P_1\) переводится движением в многоугольник \(P_2\), а значит, они равны.

Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник \(P_1\) преобразованию подобия, например гомотетии, с коэффициентом подобия \(k = \frac{B_1B_2}{A_1A_2}\). При этом получим правильный \(n\)-угольник \(P'\) с такими же сторонами, как и у \(P_2\).

По доказанному многоугольник \(P'\) переводится движением в многоугольник \(P_2\), а значит, многоугольник \(P_1\) переводится в многоугольник \(P_2\) преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия.

Теорема доказана.

У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных \(n\)-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных \(n\)-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры \(n\)-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных \(n\)-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

Вопрос 14. Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, то есть одно и то же для всех окружностей.

Ответ. Теорема 13.5. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых двух окружностей.

Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть \(R_1\) и \(R_2\) - их радиусы, а \(l_1\) и \(l_2\) - их длины. Допустим, что утверждение теоремы неверно и \(\frac{l_1}{2R_1} \neq \frac{l_2}{2R_2}\), например:

\[\frac{l_1}{2R_1} < \frac{l_2}{2R_2} \quad (*).\]

Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон \(n\). Если \(n\) очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров \(p_1\) и \(p_2\) вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить \(l_1\) на \(p_1\), а \(l_2\) на \(p_2\):

\[\frac{p_1}{2R_1} < \frac{p_2}{2R_2} \quad (**).\]

Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых \(n\)-угольников относятся как радиусы описанных окружностей:

\[\frac{p_1}{p_2} = \frac{R_1}{R_2}.\]

Отсюда \(\frac{p_1}{R_1} = \frac{p_2}{R_2}\). А это противоречит неравенству (**).

Теорема доказана.

Вопрос 15. По какой формуле вычисляется длина окружности?

Ответ. Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой \(\pi\) (читается "пи"):

\[\frac{l}{2R} = \pi.\]

Число \(\pi\) иррациональное. Приближенное значение

\[\pi \approx 3,1416.\]

Приближенное значение числа \(\pi\) было известно уже древним грекам. Очень простое приближенное значение \(\pi\) нашел Архимед: \(\frac{22}{7}\). Оно отличается от точного значения \(\pi\) меньше чем на 0,002.

Так как \(\frac{l}{2R} = \pi\), то длина окружности вычисляется по формуле

\[l = 2\pi R.\]

Вопрос 16. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?

Ответ. Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в \(n^\circ\) (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности \(\pi R\). Следовательно, углу в \(1^\circ\) соответствует дуга длины \(\frac{\pi R}{180}\), а углу в \(n^\circ\) соответствует дуга длины

\[l = \frac{\pi R}{180}\cdot n.\]

Вопрос 17. Что такое радианная мера угла?

Ответ. Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что

\[\frac{l}{R} = \frac{\pi}{180}\cdot n,\]

т.е. радианная мера угла получается из градусной умножением на \(\frac{\pi}{180^\circ}\).

Вопрос 18. Чему равны радианные меры углов \(180^\circ\) и \(90^\circ\).
Ответ. Радианная мера угла получается из градусной умножением на \(\frac{\pi}{180^\circ}\).

Радианная мера угла \(180^\circ\) равна \(180^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = \pi\).

Радианная мера угла \(90^\circ\) равна \(90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = 90^\circ\cdot\frac{\pi}{90^\circ\cdot 2} = \frac{\pi}{2}\).