Вопрос 11. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.

Ответ. Для правильного (равностороннего) треугольника \(n = 3\), \(\beta = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sqrt{3}},\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,60^\circ} = \frac{a}{2\sqrt{3}}.\]

Для правильного четырехугольника (квадрата) \(n = 4\), \(\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 45^\circ} = \frac{a}{\sqrt{2}},\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,45^\circ} = \frac{a}{2}.\]

Для правильного шестиугольника \(n = 6\), \(\beta = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ\),

\[R = \frac{a}{2\sin 30^\circ} = a,\]

\[r = \frac{a}{2\,\text{tg}\,30^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Вопрос 12. Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?

Ответ. Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол. У правильного шестиугольника такой угол равен \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\). Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину (\(A_1\)) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем заческу и получаем вершину \(A_2\) (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\), \(A_6\) и соединяем их отрезками.

Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 283).

Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284).

Для построения правильного описанного многоугольника достаточно провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника. Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника (рис. 285).

Если в окружность вписан правильный \(n\)-угольник, то легко построить правильный вписанный \(2n\)-угольник. На рисунке 286 показано построение правильного восьмиугольника.

Вопрос 13. Докажите, что правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Ответ. Теорема 13.4. Правильные выпуклые \(n\)-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть \(P_1\): \(A_1A_2...A_n\), \(P_2\): \(B_1B_2...B_n\) - правильные выпуклые \(n\)-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т.е. совмещаются движением.

Треугольники \(A_1A_2A_3\) и \(B_1B_2B_3\) равны по первому признаку. У них \(A_1A_2 = B_1B_2\), \(A_2A_3 = B_2B_3\) и \(\angle A_1A_2A_3 = \angle B_1B_2B_3\).

Подвергнем многоугольник \(P_1\) движению, при котором его вершины \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) переходят в вершины \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина \(A_4\) перейдет в некоторую точку \(C\). Точки \(B_4\) и \(C\) лежат по одну сторону с точкой \(B_1\) относительно прямой \(B_2B_3\). Так как движение сохраняет углы и расстояния, то \(\angle B_2B_3C = \angle B_2B_3B_4\) и \(B_3C = B_3B_4\). А значит, точка \(C\) совпадает с точкой \(B_4\). Итак, при нашем движении вершина \(A_4\) переходит в вершину \(B_4\). Далее таким же способом заключаем, что вершина \(A_5\) переходит в вершину \(B_5\) и т.д. То есть многоугольник \(P_1\) переводится движением в многоугольник \(P_2\), а значит, они равны.

Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник \(P_1\) преобразованию подобия, например гомотетии, с коэффициентом подобия \(k = \frac{B_1B_2}{A_1A_2}\). При этом получим правильный \(n\)-угольник \(P'\) с такими же сторонами, как и у \(P_2\).

По доказанному многоугольник \(P'\) переводится движением в многоугольник \(P_2\), а значит, многоугольник \(P_1\) переводится в многоугольник \(P_2\) преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия.

Теорема доказана.

У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных \(n\)-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных \(n\)-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры \(n\)-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных \(n\)-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

Вопрос 14. Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, то есть одно и то же для всех окружностей.

Ответ. Теорема 13.5. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для любых двух окружностей.

Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть \(R_1\) и \(R_2\) - их радиусы, а \(l_1\) и \(l_2\) - их длины. Допустим, что утверждение теоремы неверно и \(\frac{l_1}{2R_1} \neq \frac{l_2}{2R_2}\), например:

\[\frac{l_1}{2R_1} < \frac{l_2}{2R_2} \quad (*).\]

Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон \(n\). Если \(n\) очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров \(p_1\) и \(p_2\) вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить \(l_1\) на \(p_1\), а \(l_2\) на \(p_2\):

\[\frac{p_1}{2R_1} < \frac{p_2}{2R_2} \quad (**).\]

Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых \(n\)-угольников относятся как радиусы описанных окружностей:

\[\frac{p_1}{p_2} = \frac{R_1}{R_2}.\]

Отсюда \(\frac{p_1}{R_1} = \frac{p_2}{R_2}\). А это противоречит неравенству (**).

Теорема доказана.

Вопрос 15. По какой формуле вычисляется длина окружности?

Ответ. Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой \(\pi\) (читается "пи"):

\[\frac{l}{2R} = \pi.\]

Число \(\pi\) иррациональное. Приближенное значение

\[\pi \approx 3,1416.\]

Приближенное значение числа \(\pi\) было известно уже древним грекам. Очень простое приближенное значение \(\pi\) нашел Архимед: \(\frac{22}{7}\). Оно отличается от точного значения \(\pi\) меньше чем на 0,002.

Так как \(\frac{l}{2R} = \pi\), то длина окружности вычисляется по формуле

\[l = 2\pi R.\]

Вопрос 16. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?

Ответ. Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в \(n^\circ\) (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности \(\pi R\). Следовательно, углу в \(1^\circ\) соответствует дуга длины \(\frac{\pi R}{180}\), а углу в \(n^\circ\) соответствует дуга длины

\[l = \frac{\pi R}{180}\cdot n.\]

Вопрос 17. Что такое радианная мера угла?

Ответ. Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что

\[\frac{l}{R} = \frac{\pi}{180}\cdot n,\]

т.е. радианная мера угла получается из градусной умножением на \(\frac{\pi}{180^\circ}\).

Вопрос 18. Чему равны радианные меры углов \(180^\circ\) и \(90^\circ\).
Ответ. Радианная мера угла получается из градусной умножением на \(\frac{\pi}{180^\circ}\).

Радианная мера угла \(180^\circ\) равна \(180^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = \pi\).

Радианная мера угла \(90^\circ\) равна \(90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ} = 90^\circ\cdot\frac{\pi}{90^\circ\cdot 2} = \frac{\pi}{2}\).